Antonio Galves é matemático, Professor Titular da Universidade de S.Paulo, membro titular da Academia Brasileira de Ciências e coordenador do Centro de Pesquisa, Inovação e Difusão em Neuromatemática (CEPID NeuroMat), financiado pela FAPESP. As atividades do CEPID NeuroMat podem ser acompanhadas através das páginas www.neuromat.numec.prp.usp.br e www.facebook.com/ neuromathematics.

Resumo da 1ª parte: No final do século XIX, Boltzmann propôs derivar as leis da Termodinâmica a partir do estudo da evolução de sistemas de moléculas como as da água. Esse projeto inovador foi violentamente atacado pelas autoridades científicas da sua época. Os detratores de Boltzmann diziam que o projeto era logicamente incoerente, porque ele propunha derivar leis irreversíveis, como as da Termodinâmica, a partir do estudo de sistemas de moléculas que são reversíveis, por seguirem as leis da Mecânica. Um casal de jovens matemáticos, Paulo e Tatiana Ehrenfest entendeu a idéia central de Boltzmann. Eles iam mostrar ao mundo científico que reversibilidade e irreversibilidade podiam coexistir no mesmo sistema.

2a. Parte: O modelo de Ehrenfest.

Paulo e Tatiana encontraram uma maneira muito simples de mostrar que não havia nenhuma impossibilidade lógica no projeto proposto por Boltzmann. Na verdade, reversibilidade e irreversibilidade são dois aspectos da mesma história. E eles iam mostrar isso através de um modelo matemático simples.

Esse modelo descreve de maneira esquemática um sistema composto de dois compartimentos iguais, um deles contendo um certo volume de gás, o outro estando vazio. Se os dois compartimentos forem conectados por um tubo, o gás fluirá de um compartimento para outro.

No modelo proposto por Paulo e Tatiana os dois recipientes são representados por duas urnas. Vamos chamá-las de urnas A e B. O gás, ou melhor o conjunto de moléculas que o constituem serão representados por um conjunto de bolas iguais e numeradas de 1 até um número fixado muito grande.

Paul Ehrenfest
A evolução no tempo das posições das moléculas do gás será representada por uma sequência de sorteios de bolas da seguinte forma. Vamos imaginar que temos à nossa disposição uma roleta perfeitamente honesta dividida em espaços iguais numerados de 1 até o número total de bolas. Ou seja, se usarmos 100 bolas, a roleta terá 100 divisões iguais, numeradas de 1 até 100.Usamos essa roleta para alterar ao longo do tempo as posições das bolas. Isso é feito da seguinte forma. Sorteamos um número usando a roleta. A bola cujo número foi sorteada é “candidata” a mudar de urna. Para decidir se a mudança de urna ocorrerá ou não, uma moeda honesta é lançada. Se sair cara, a bola cujo número havia sido sorteado na roleta muda de urna. Se a bola estava na urna A, ela muda para a urna B. Já se sair coroa, a bola cujo número foi sorteado permanecerá na urna em que estava. Fazemos isso sucessivamente.A evolução das posições das bolas representará a evolução das moléculas do gás, passando de um outro para o outro recipiente. No início, todas as bolas estão na urna A. Representamos assim o fato que inicialmente um compartimento continha todo o gás e o outro estava vazio. Ao longo dos sorteios sucessivos da roleta e da moeda, as bolas irão mudando ou não de urna. Exatamente como ocorre com as moléculas do gás.
Tatiana Ehrenfest
Uma objeção possível dos leitores.Ouço já alguns leitores protestando:- Um modelo baseado em duas urnas e um conjunto de bolas numeradas é algo muito simplista. Isso não leva em consideração todos os detalhes complicados da evolução real de um gás entre dois compartimentos conectados.De fato, trata-se de um modelo extremamente simples. Na verdade, modelos matemáticos tem que ser simples, para que suas propriedades possam ser estudadas de forma profunda e rigorosa e enunciadas através de teoremas.

Os leitores me interrogam de novo.

– E qual é o interesse disso? Qual o interesse de estudar o que acontece com um conjunto de bolas que passam de urna para o outro, seguindo os sorteios de uma roleta e de uma moeda?

O interesse do Modelo de Ehrenfest é que sua evolução pode ser simultaneamente descrita como sendo reversível e irreversível. Reversível como previsto pelas leis da mecânica que descreve a evolução de um sistema de moléculas. E irreversível como previsto pelas leis de termodinâmica que controla a evolução de um gás.

Já ouço manifestações de protesto dos leitores que gritam em coro:

– Estamos confusos! Se o gás nunca volta inteiramente para o primeiro compartimento, como é possível que o modelo de Ehrenfest seja ao mesmo tempo reversível e irreversível?! Você quer dizer que em algum momento da evolução, ao acaso dos sorteios da roleta e da moeda, veremos todas as bolas voltarem para a primeira urna? E se assim for, porque não vemos isso experimentalmente? E se isso acontecer, como pode esse modelo ter também um comportamento irreversível?!

Todos exigem em altos brados:

– Que absurdo é esse?! Como pode uma mesma evolução ter duas descrições contraditórias?!

Essa pergunta será respondida daqui a uma semana, na 3ª parte desta história.

Confira os outros artigos da série:

A angústia do matemático Ludwig Boltzmann – 1ª parte

A angústia do matemático Ludwig Boltzmann – 3ª parte