A sessão de Ciências Matemáticas que ocorreu dentro do evento Avanços e Perspectivas da Ciência no Brasil, América Latina e Caribe em 30/11 foi coordenada pelo Acadêmico Marcelo Viana, do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), e contou com palestras dos Acadêmicos Carlos Tomei, Mário Jorge Dias Carneiro e Yoshiharu Kohayakawa.

Estabilidade e difusão

A palestra do Acadêmico Mário Jorge Dias Carneiro, da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), intitulava-se Estabilidade e Difusão na Mecânica Clássica.

Os problemas tratados na linha de pesquisa de Sistemas Dinâmicos têm a sua principal motivação na Mecânica Clássica, mas suas aplicações vão bem além desta área. Um dos mais antigos problemas estudados é o movimento de corpos regidos pela lei de atração gravitacional, o movimento dos planetas, satélites e outros corpos celestes.

O termo “estabilidade” significa que, ao longo do tempo, as trajetórias do movimento permanecem confinadas em certa região. Um dos mais importantes resultados da área, obtidos na década de 1950, a Teoria de Kolmogorov-Arnold e Moser (conhecida como teoria KAM), descreve condições de estabilidade para pequenas perturbações de sistemas integráveis. Em sistemas caóticos, observam-se fenômenos de difusão, em que pode haver grande dispersão das trajetórias no espaço. O estudo de tais sistemas é o principal objeto da linha de pesquisa desenvolvida por Carneiro.

Combinatória aditiva

O Acadêmico Yoshiharu Kohayakawa, da Universidade de São Paulo, (USP), apresentou resultados de pesquisa intitulada Problemas probabilísticos extremais e combinatória aditiva.

Na combinatória aditiva, estudam-se estruturas aditivas, como o conjunto dos números inteiros, e seus subobjetos, como progressões aritméticas. Um fenômeno de interesse na área é a abundância de progressões aritméticas no universo dos números inteiros.

Em um trabalho de 1936, o matemático húngaro Simon Sidon investigou o quão densos podem ser os conjuntos de inteiros que não contêm soluções (não-triviais) da equação x + y = z + w, motivado por estudos de séries de Fourier. Tais conjuntos são conhecidos hoje como conjuntos de Sidon.

Pesquisas mais recentes provaram que diversos resultados combinatórios extremais podem ser transferidos para “universos esparsos típicos”, uma coleção esparsa típica de inteiros ou de números naturais. Nesta palestra, baseada em trabalho conjunto com Sangjune Lee e Vojtech Rödl, o professor Yoshiharu Kohayakawa considerou o problema de Sidon “transferido” para o contexto de tais “universos” e apresentou resultados finos sobre a densidade de conjuntos de Sidon em tais “universos esparsos”.

Os resultados da área de combinatória aditiva têm relevância para a teoria da computação, que por sua vez é um dos pilares da tecnologia da informação.

Equações diferenciais parciais

O Acadêmico Carlos Tomei, da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio), discorreu sobre dificuldades associadas à presença de não linearidade no contexto de certos modelos matemáticos muito frequentes em aplicações, as chamadas equações diferenciais parciais. Esse tipo de equação é uma relação entre uma função desconhecida, que depende de mais de uma variável, e algumas de suas derivadas em relação a essas variáveis. Muitas situações físicas se exprimem dessa forma: processos de difusão, estados de equilíbrio térmico ou elétrico, evoluções de ondas, etc.

As novas dificuldades surgem da necessidade de considerar modelos mais realistas ou no processo de adaptar as equações a métodos numéricos que aproximem suas soluções. O Acadêmico apresentou resultados recentes que constam das teses de doutorado recém defendidas de dois orientandos seus: Eduardo Teles da Silva e José Cal Neto, ambos da PUC-Rio.